利用一副小学生常用的三角尺
，
能画出165°的角吗？

官方教师用书上给的“标准”答案里
，
并没有这个选项
，
那么
，
是相信答案
，
还是大胆质疑并探索求证？

近日
，
四川天府新区华阳小学两名四年级学生成功推翻官方用书上的“标准”答案
，
并给新世纪小学教材（北师大版）编写组（下文简称
：
教材编写组）发去了邮件
，
并收到了编写组的回信
。


回信中
，
教材编写组肯定了两名学生敢于质疑的探究精神和严谨的态度
，
同时表示
，
在教材修订时
，
会采纳他们的建议
。


用一副三角尺画角

官方“标准”答案唯独少了165°

10月14日
，
华阳小学四（6）班
，
上午第一节数学课
。


数学老师黄敏正带领孩子们完成27页最后一道练习题
：
利用一副三角尺
，
你能画出哪些不同角度的角？

教材中的练习题原题

这是一道拓展题
，
鼓励学生大胆尝试
，
先独立地摆一摆、画一画
，
再交流方法
。


孩子们拿出三角尺动手画起来
，
纷纷给出了自己的答案
。


黄敏并没有止步于此
，
她带领孩子们
，
一起归纳了方法
。
“要给孩子们结构化的思维方式
，
而不是点状的
。
”

就传统思路而言
，
方法和答案有这么几种
：


第一种是三角尺上本来就有的
，
如30°、45°、60°和90°；

第二种是把两个三角尺的角拼起来
，
可以得到75°、105°、120°、135°和150°
。


第三种是把两个三角尺重叠起来
，
如45°和30°重叠在一起
，
就是15°
。


在总结方法后
，
黄敏引导孩子们从小到大
，
对这些角进行了排序
。


很快
，
大家发现了一个有趣的现象
，
这些角度是有规律的
，
从15°开始
，
依次增加15°
，
一直到180°
，
但是中间好像唯独缺少了165°
。


正在这时
，
班上的米之贤同学举手了
，
并特别激动地说
：
“老师
，
两个三角形重叠
，
可以画出165°的角
。
“

“我当时都是懵的
，
我也不能确定
。
”黄敏表示
，
在备课时
，
数学教师用书上的答案
，
并没有165°
。


官方用书中给出的“标准”答案
，
没有165°这个答案

不过她鼓励孩子们
：
“可以质疑答案
，
没人会嘲笑你们
，
不要怕
，
大胆说出来
，
也许是一个重大发现
。
”

黄老师把米之贤邀请上讲台做了展示
，
米之贤先是把矮胖三角尺（等腰直角三角形）45°的一条边和瘦长三角尺60°的一条边重合
，
在右上方
，
就出现了一个钝角
。
米之贤用量角器测量了一下
，
果真是165°！

“我是在画15°角的时候
，
无意中发现的
。
”米之贤说
。


但是
，
从数学论证的严谨性而言
，
要确定这个角就是165°
，
光靠量角器还不行
，
必须通过科学的方法去计算
，
去证明这个角就是165°
。
因此
，
下课铃响后
，
黄敏鼓励孩子们继续思考
。


带着这个问题
，
班上的廖钧宇开始琢磨起来
，
终于在放学之前
，
成功计算出这个角就是165°
。


廖钧宇说
，
要求出这个角a的度数
，
可以和它旁边的角1产生联系
，
角1又在小三角形里面
，
前一课学过三角形内角和是180°
。
于是
，
先算出角3=180°-45°=135°
，
又知道角2=30°
，
所以角1=180°-135°-30°=15°
，
那么角a=180°-15°=165°
。


孩子们的角度计算方法示意

也就是说
，
官方用书中给出的“标准”答案
，
确实漏了165°这个答案
。


教材编写组回信
：


欣赏你们勤学好问、勇于探索的精神

黄敏被孩子们的探索精神所感动
，
在她的建议下
，
米之贤和廖钧宇给教材编写组写了一封邮件
，
详细说明了发现的问题
，
还给出自己的建议
：


“这道题的答案里面是不是应该加上165°呢？如果考虑到165°确实有点难得到的话
，
可不可以添上一句话‘还有更多的答案
，
等着小朋友去探索哟’
。
这样就有很多小朋友像我们一样探索起来
。
”

“非常欣赏你们这种勤学好问、勇于探索的精神
，
特向你们回信表示感谢
。
”10月18日
，
教材编写组给两位同学回了信
。
在教材修订时
，
会采纳两人的建议并及时修订
。


米之贤和廖钧宇在交流三角尺的摆法

附教材编写组的回信原文——

亲爱的米之贤、廖钧宇两位同学
：


你们好！很高兴收到你们的邮件
，
你们在邮件中认真详细地说明了在教书教学用书中发现的问题
，
这种敢于质疑的探究精神和严谨的态度真让我们感动！

关于你们在信中提到的教材四年级上册第27页第6题答案的问题
，
编写组的叔叔阿姨们已经将你们的问题和建议记录下来
，
在教材修订时会采纳你们的建议并及时进行修订
。


数学源于生活
，
又应用于生活
，
你们在用数学的眼光观察着这个世界
。
编写组的叔叔阿姨们非常欣赏你们这种勤学好问、勇于探索的精神
，
特向你们回信表示感谢
，
并奖励你们一个新世纪小学数学平台的学习账号
，
希望你们能够继续保持这种学习数学的态度
。


祝你们学习进步
，
生活快乐！

你们的编者大朋友

2022年10月18日

杜玉飞 红星新闻记者 许雯

图据天府教育发布

编辑 成序

（下载红星新闻
，
报料有奖！）

网友看法

1、网友种花杂谈
：
一副三角板当然可以画出15°角的任何倍数
，
165°也不例外
。
但两个小学生能够深钻进去
，
利用一副三角板直接拼出165°的角
，
还能给予证明
，
真是难能可贵
。
少年强则国强!

2、网友微覌視界
：
小学教材的话不足为奇
，
165度并非做不出
，
也并非编委不清楚
，
而是小学的知识点不涉及
，
无法证明
，
学生们只是量出来这是165
，
但如何证明呢？老师怎么给学生讲呢？ 只能说老师自身备课不足
，
居然还懵了
。


3、网友柠都人新鲜事
：
老师的教学用书没有
，
老师就不知道
，
可见老师的素质有多高

4、网友夕颜如尘
：
90+45+30=165怎么不行？

5、网友一颗爱吃肉的草草
：
不是答案没写全
，
而是这是低龄段的简单几何
。
小朋友能发散思维
，
大胆尝试
，
而老师没有马上否定
，
而是一起探索
，
并鼓励孩子们求知
，
这就是一个好老师
，
一堂好课程
。
希望多一些这样的老师
，
去引导孩子大胆发现
，
而不是照本宣科
。
特别是语文课
，
美术课之类的课程
。


6、网友半打卤鸡蛋12138
：
你们别觉得没啥
。
对于小学四年级
，
这个拼接方法和寻找出来角的位置
，
属实刁钻
。
而且他的证明
，
需要用到初中的一条定理
：
三角形一个角的补角
，
等于另外两个角之和
。
也就是说小学4年级
，
证明了初中（应该是初二）的定理
。


7、网友物理不老舟
：
这小学数学老师不怎么样！这样简单得很的答案还需要什么严谨的推理？

8、网友秋上楸树
：
看来教小学数学
，
不需要太高的数学能力
。


9、网友小逗逼影视
：
第一自然段“教书教学用书”？？？是什么意思呢

10、网友自由生活体验者
：
我都想出来了
，
二个带15度的三角尺
，
用15度的地方拼
，
余下的地方就是165度！

11、网友书魂剑魄
：
一副三角尺是指两个三角尺吗？

12、网友防水堵漏越堵越漏
：
人教版
：
是你们记错了
，
不是我印错了

13、网友昆仑传说
：
敢于质疑教材推翻教材的错误结论才是真正的好学生！

14、网友外向橙子GQ
：
都是外行在评论
，
你们以为编委不知道有165度？我近三十年的经验告诉你们
，
这个属于拓展
，
不是应知应会的
，
只是小孩的建议很好而已
。


15、网友才哥wdc
：
能得到15度当然就可以得到165度
，
15加165不就是180吗？

16、网友芷兰
：
这小学数学老师不怎么样！这样简单得很的答案还需要什么严谨的推理？

17、网友喜好科学的胖子
：
其实还能画出很多度数的角
，
比如说利用边长关系加上旋转
。
这个问题要深究就得学高斯当年是怎么把一个圆17等分的

18、网友微笑咖啡SF
：
有15度 不就有165度了？

19、网友奔跑的蜗牛131302143
：
肯定是可以啥
，
165=90+60+I5

20、网友数学习题爱好者
：
对于一个小学生能拓展出165确实是值得鼓励
，
相对而言他的数学老师拿到165这个答案的反应又显得业务不精了